О методе Монте-Карло для решения больших систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений
DOI:
https://doi.org/10.21638/spbu01.2021.104Аннотация
В статье рассматривается применение метода Монте-Карло к решению задачи Коши для больших систем линейных дифференциальных уравнений. В первой части статьи дается краткий обзор уже известных результатов применения метода для решения интегральных уравнений Фредгольма. В основной части статьи разбирается применение подхода к системе линейных ОДУ, которая приводится к эквивиалентной системе интегральных уравнений Вольтерра. Это позволяет снять ограничения, связанные со сходимостью мажорантного процесса. Формулируются следующие ключевые теоремы. Теорема 1 указывает требуемые условия согласования, которым должны отвечать переходная и начальная плотности распределения, инициирующие соответствующую цепь Маркова, для которой выполняется равенство между математическим ожиданием оценки и интересующим нас функционалом. Теорема 2 формулирует выражение для дисперсии оценки, в то время как теорема 3 указывает параметры цепи Маркова, минимизирующие значение дисперсии для оценки функционала. В работе приводятся доказательства всех трех теорем. В практической части предложенный метод применяется к системе линейных ОДУ, описывающих замкнутую систему массового обслуживания из десяти условных машин и семи условных рабочих. Решение приводится как для системы с постоянной матрицей коэффициентов, так и для системы с переменной матрицей, где в зависимости от времени меняется интенсивноcть выхода машин из строя. Также произведено сравнение решения методом Монте-Карло с решением методом Рунге - Кутта. Все результаты отражены в таблицах.Ключевые слова:
метод монте-карло, системы оду, интегральное уравнение, задачи массового обслуживания, оптимальная плотность, несмещенная оценка, статистическое моделирование
Скачивания
Данные скачивания пока недоступны.
Библиографические ссылки
Литература
1. Ермаков C.M. Метод Монте-Карло в вычислительной математике. Санкт-Петербург, Невский Диалект (2009).
2. Ермаков C.M. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. Москва, Наука (1975).
3. Ермаков C.M., Сипин А.С. Метод Монте-Карло и параметрическая разделимость алгоритмов. Санкт-Петербург, Изд-во С.-Петерб. ун-та (2014).
4. Ермаков C.M., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. Москва, Наука (1982).
5. Ermakov S., Pogosian A. On solving stochastic differential equations. Monte Carlo Methods and Applications 25, iss. 2, 155–161 (2019). https://doi.org/10.1515/mcma-2019-2038
6. Ермаков С.М., Товстик Т.М. Метод Монте-Карло для решения систем ОДУ. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия 6 (64), вып. 3, 411–421 (2019). https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2019.306
7. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. Санкт-Петербург, Лань (2011).
8. Кофман А., Крюон Р. Массовое обслуживание: теория и приложения, пер. с франц. Москва, Мир (1965).
9. Virtanen P., Gommers R., Oliphant T.E. et al. SciPy 1.0: fundamental algorithms for scientific computing in Python. Nat. Methods 17, 261–272 (2020). https://doi.org/10.1038/s41592-019-0686-2
10. Hairer E. Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems. Springer (1993).
References
1. Ermakov S.M. Monte-Carlo for quantitative mathematics. StPetersburg, Nevsky Dialect Publ. (2009). (In Russian)
2. Ermakov S.M. Monte-Carlo and related topics. Moscow, Nauka Publ. (1975). (In Russian)
3. Ermakov S.M., Sipin A.S. Monte-Carlo and parametrical divisibility of algorithms. St. Petersburg, St. Petersburg Univ. Press (2014). (In Russian)
4. Ermakov S.M., Mikhailov G.A. Statistical modelling. Moscow, Nauka Publ. (1982). (In Russian)
5. Ermakov S., Pogosian A. On solving stochastic differential equations. Monte Carlo Methods and Applications 25, iss. 2, 155–161 (2019). https://doi.org/10.1515/mcma-2019-2038
6. Ermakov S.M., Tovstik T.M. Monte-Carlo method for solution of systems ODE. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy 6 (64), iss. 3, 411–421 (2019). https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2019.306 (In Russian) [Engl. transl.: Vestnik St. Petersb. Univ. Math. 52, iss. 3, 272–280 (2019). https://doi.org/10.1134/S1063454119030087].
7. Bibikov J.N. A course in ordinary differential equations. St. Petersburg, Lan’ Publ. (2011). (In Russian)
8. Kaufmann A., Cruon R. Los fenomenos de espera; teoria y aplicaciones. Continental (1966). [Russ. ed.: Massovoe obsluzhivanie: teorija i prilozhenija. Moscow, Mir Publ. (1965)].
9. Virtanen P., Gommers R., Oliphant T.E. et al. SciPy 1.0: fundamental algorithms for scientific computing in Python. Nat. Methods 17, 261–272 (2020). https://doi.org/10.1038/s41592-019-0686-2
10. Hairer E. Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems. Springer (1993).
Загрузки
Опубликован
29.05.2021
Как цитировать
Ермаков, С. М., & Смиловицкий, М. Г. (2021). О методе Монте-Карло для решения больших систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 8(1), 37–48. https://doi.org/10.21638/spbu01.2021.104
Выпуск
Раздел
Математика
Лицензия
Статьи журнала «Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия» находятся в открытом доступе и распространяются в соответствии с условиями Лицензионного Договора с Санкт-Петербургским государственным университетом, который бесплатно предоставляет авторам неограниченное распространение и самостоятельное архивирование.
