Двумерные однородные кубические системы: классификация и нормальные формы - VI

Авторы

  • Владимир Владимирович Басов
  • Александр Сергеевич Чермных

DOI:

https://doi.org/10.21638/spbu01.2020.302

Аннотация

Данная статья является шестой в цикле работ, посвященном двумерным однородным кубическим системам. В ней рассматривается случай, когда однородный векторный многочлен в правой части системы не имеет общего множителя. Множество таких систем разбивается на классы линейной эквивалентности, в каждом из которых на основании определенным образом введенных принципов выделяется простейшая система - нормальная форма третьего порядка, задаваемая матрицей коэффициентов своей правой части, которая называется канонической формой (КФ). Каждая КФ имеет свою структуру расположения ненулевых элементов, их определенную нормировку и каноническое множество допустимых значений для ненормированных элементов, относящее КФ в выбранному классу эквивалентности. Помимо классификации для каждой КФ приводятся: a) условия на коэффициенты исходной системы, b) линейные неособые замены, преобразующие правую часть системы при этих условиях в выбранную КФ, c) получаемые значения ненормированных элементов КФ. Предложенная классификация в первую очередь создавалась для получения всех возможных структур обобщенных нормальных форм систем с КФ в невозмущенной части. В статье приводится еще одно приложение полученной классификации, связанное с нахождением для КФ фазовых портретов в круге Пуанкаре.

Скачивания

Данные скачивания пока недоступны.
 

Библиографические ссылки

Литература

1. Басов В.В. Двумерные однородные кубические системы: классификация и нормальные формы - I // Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 2016. Т. 3 (61). Вып. 2. С. 181–195. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2016.201

2. Басов В.В. Двумерные однородные кубические системы: классификация и нормальные формы - II // Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 2016. Т. 3 (61). Вып. 3. С. 355–371. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2016.302

3. Басов В.В., Чермных А. С. Двумерные однородные кубические системы: классификация и нормальные формы - III // Вестник С.-Петерб. ун-та. Математика. Механика. Астрономия. 2017. Т. 4 (62). Вып. 2. С. 179–192. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2017.201

4. Басов В.В., Чермных А. С. Двумерные однородные кубические системы: классификация и нормальные формы - IV // Вестник С.-Петерб. ун-та. Математика. Механика. Астрономия. 2017. Т. 4 (62). Вып. 3. С. 370–386. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2017.302

5. Басов В.В., Чермных А. С. Двумерные однородные кубические системы: классификация и нормальные формы - V // Вестник С.-Петерб. ун-та. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5 (63). Вып. 4. С. 556–571. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2018.403

6. Cima A., Llibre J. Algebraic and topological classification of the homogeneous cubic vector fields in the plane // J. Math. Anal. Appl. 1990. Vol. 147, no. 2. P. 420–448.

7. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. М.; Л.: Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры, 1949.

8. Gurevich G. Foundations of the Theory of Algebraic Invariants. Groningen: Noordhoff, 1964.

9. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А. Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966.

10. Sotomayor J. Curvas definidas por equa¸c˜oes diferenciais no plano. Rio de Janeiro: Instituto de Matematica Pura e Aplicada, 1981.

11. Басов В. В., Федорова Е.В. Двумерные вещественные системы ОДУ с квадратичной невозмущенной частью: классификация и вырожденные обобщенные нормальные формы // Дифференц. уравнения и процессы управления. 2010. №4. С. 49–85. URL: https://diffjournal.spbu.ru/pdf/basovfr.pdf (дата обращения: 04.05.2020).

12. Date T. Classification and analysis of two-dimensional real homogeneous quadratic differential equation systems // J. Differential Equations. 1979. Vol. 32, no. 3. P. 311–334.

13. Вулпе Н.И., Сибирский К.С. Геометрическая классификация квадратичной дифференциальной системы // Дифференц. уравнения. 1977. T. 13, №5. C. 803–814.

14. Андреева И.А., Андреев А.Ф. Фазовые портреты одного семейства кубических систем в круге Пуанкаре. Lambert Academic Publishing, 2017.

References

1. Basov V.V., “Two-dimensional homogeneous cubic systems: Classification and normal forms: I”, Vestnik St. Petersb. Univ. Math. 49, iss. 2, 99–110 (2016). https://doi.org/10.3103/S1063454116020023

2. Basov V.V., “Two-dimensional homogeneous cubic systems: Classification and normal forms: II”, Vestnik St. Petersb. Univ. Math. 49, iss. 3, 204–218 (2016). https://doi.org/10.3103/S1063454116030031

3. Basov V.V., Chermnykh A. S., “Two-dimensional homogeneous cubic systems: classification and normal forms: III”, Vestnik St. Petersb. Univ. Math. 50, iss. 2, 97–110 (2017). https://doi.org/10.3103/S1063454117020029

4. Basov V.V., Chermnykh A. S., “Two-dimensional homogeneous cubic systems: classification and normal forms: IV”, Vestnik St. Petersb. Univ. Math. 50, iss. 3, 217–234 (2017). https://doi.org/10.3103/S1063454117030049

5. Basov V.V., Chermnykh A. S., “Two-dimensional homogeneous cubic systems: classification and normal forms: V”, Vestnik St. Petersb. Univ. Math. 51, iss. 4, 327–342 (2018). https://doi.org/10.3103/S1063454118040040

6. Cima A., Llibre J., “Algebraic and topological classification of the homogeneous cubic vector fields in the plane”, J. Math. Anal. Appl. 147 (2), 420–448 (1990).

7. Okunev L.Ya., Higher algebra (Gosudarstvennoe izdatel’stvo tehniko-teoreticheskoj literatury, Moscow, 1949). (In Russian)

8. Gurevich G., Foundations of the Theory of Algebraic Invariants (Noordhoff, Groningen, 1964).

9. Andronov A.A., Leontovich E.A., Gordon I. I., Maier A.G., Qualitative theory of second order dynamical systems (Halsted Press, New York, Toronto, 1973).

10. Sotomayor J., Curvas definidas por equa¸c˜oes diferenciais no plano (Instituto de Matematica Pura e Aplicada, Rio de Janeiro, 1981). (In Portuguese)

11. Basov V.V., Fedorova E.V., “Two-dimensional real systems of ODE with quadratic unperturbed parts: classification and degenerate generalized normal forms”, Differential equations and control processes (4), 49–85 (2010). Available at: https://diffjournal.spbu.ru/pdf/basovfe.pdf (accessed: May 4, 2020).

12. Date T., “Classification and analysis of two-dimensional real homogeneous quadratic differential equation systems”, J. Differential Equations 32 (3), 311–334 (1979).

13. Vulpe N. I., Sibirskii K. S., “Geometric classification of a quadratic differential system”, Differencial’nye Uravnenija 13 (5), 803–814 (1977). (In Russian)

14. Andreeva I.A., Andreev A.F., Phase portraits of one family of cubic systems in a Poincare circle (Lambert Academic Publishing, 2017). (In Russian)

Загрузки

Опубликован

04.09.2020

Как цитировать

Басов, В. В., & Чермных, А. С. (2020). Двумерные однородные кубические системы: классификация и нормальные формы - VI. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 7(3), 377–391. https://doi.org/10.21638/spbu01.2020.302

Выпуск

Том 7 № 3 (2020)

Раздел

Математика

Лицензия

Статьи журнала «Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия» находятся в открытом доступе и распространяются в соответствии с условиями Лицензионного Договора с Санкт-Петербургским государственным университетом, который бесплатно предоставляет авторам неограниченное распространение и самостоятельное архивирование.

Наиболее читаемые статьи этого автора (авторов)

1 2 > >>