Обобщенные нормальные формы систем обыкновенных дифференциальных уравнений с квазиоднородным многочленом (ax1^2 + x2, x1x2) в невозмущенной части
DOI:
https://doi.org/10.21638/spbu01.2021.102Аннотация
Продолжена работа по конструктивному построению обобщенных нормальных форм (ОНФ). Рассмотрена вещественно-аналитическая в начале координат двумерная система, невозмущенную часть которой образует квазиоднородный многочлен (αx21 + x2, x1x2) первой степени с весом (1, 2), в котором параметр α ∈ (-1/2, 0) ∪ (0, 1/2]. При указанных значениях α этот многочлен является образующей - канонической формой - одного из классов эквивалентности относительно квазиоднородных замен нулевого порядка, на которые в соответствии с выбранными структурными принципами необходимо разбивать произвольный квазиоднородный многочлен первого порядка с весом (1, 2), поскольку к ОНФ имеет смысл приводить только системы с различными каноническими формами в невозмущенной части. При помощи конструктивного метода резонансных уравнений и наборов в работе выписаны резонансные уравнения, которым должны удовлетворять возмущения получаемой системы в результате формальной почти тождественной квазиоднородной замены в исходной системе. Их выполнение гарантирует формальную эквивалентность систем. Кроме того, удалось выделить резонансные наборы коэффициентов, позволяющие получить все возможные структуры ОНФ и доказать сводимость исходной системы к ОНФ с любой из выделенных структур. Также приведены примеры характерных ОНФ, в частности, имеющих параметр α, при котором появляются дополнительное резонансное уравнение и второй ненулевой коэффициент в соответствующих порядках ОНФ.Ключевые слова:
обобщенная нормальная форма, квазиоднородный многочлен, резонансное уравнение
Скачивания
Данные скачивания пока недоступны.
Библиографические ссылки
Литература
1. Басов В.В. Обобщенная нормальная форма и формальная эквивалентность систем дифференциальных уравнений с нулевыми характеристическими числами. Дифференц. уравнения 39 (2), 154–170 (2003).
2. Басов В.В., Федотов А.А. Обобщенная нормальная форма двумерных систем ОДУ с линейно-квадратичной невозмущенной частью. Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия, вып. 1, 13–33 (2007).
3. Басов В.В., Слуцкая А. Г. Обобщенные нормальные формы двумерных вещественных систем ОДУ с квазиоднородным полиномом в невозмущенной части. Дифференц. уравнения и процессы управления (4), 108–133 (2010).
4. Басов В.В., Скитович А.В. Обобщенная нормальная форма и формальная эквивалентность двумерных систем с нулевым квадратичным приближением. I. Дифференц. уравнения 39 (8), 1016–1029 (2003).
5. Kokubu H., Oka H., Wang D. Linear grading function and further reduction of normal forms. J. Diff. Eq. 132, 293–318 (1996).
6. Богданов Р.И. Версальная деформация особой точки векторного поля на плоскости в случае нулевых собственных чисел. Функц. анализ и его прил. 9 (2), 63 (1975).
7. Takens F. Singularities of vector fields. IHES 43 (2), 47–100 (1974).
8. Baider A., Sanders J. Further reduction of the Takens-Bogdanov normal form. J. Diff. Eq. 99, 205–244 (1992).
9. Белицкий Г.Р. Нормальные формы, инварианты и локальные отображения. Киев, Наукова думка (1979).
10. Брюно А.Д., Петрович В.Ю. Нормальные формы системы ОДУ. Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша, 18 (2000).
References
1. Basov V.V. Generalized normal forms and formal equivalence of systems of differential equations with zero eigenvalues Differential Equations 39 (2), 154–170 (2003). (In Russian)
2. Basov V.V., Fedotov A.A. Generalized normal forms for two-dimensional systems of ordinary differential equations with linear and quadratic unperturbed parts. Vestnik of Saint Petersburg University. Series 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, iss. 1, 13–33 (2007). (In Russian) [Engl. transl.: Vestnik St. Petersb. Univ. Math. 40, iss. 1, 6–26 (2007). https://doi.org/10.3103/S1063454107010025].
3. Basov V.V., Slutskaya A.G. Generalized normal forms for two-dimensional real systems of ordinary differential equations with quasi-homogeneous polynomial in unperturbed part. Differential Equations and Control Processes (4), 108–133 (2010). (In Russian)
4. Basov V.V., Skitovich A.V. A generalized normal form and formal equivalence of twodimensional systems with quadratic zero approximation. I. Differ. Uravn. 39 (8), 1067–1081 (2003). (In Russian) [Engl. transl.: Differ. Equ. 39 (8), 1067–1081 (2003). https://doi.org/10.1023/B:DIEQ.0000011279.99967.1d].
5. Kokubu H., Oka H., Wang D. Linear grading function and further reduction of normal forms. J. Diff. Eq. 132, 293–318 (1996).
6. Bogdanov R. Versal deformations of a singular point of a vector field on the plane in the case of zero eigenvalues. Funktsional. Anal. i Prilozhen. 9 (2), 63 (1975). (In Russian) [Engl. transl.: Funct. Anal. Appl. 9 (2), 144–145 (1975). https://doi.org/10.1007/BF01075453].
7. Takens F. Singularities of vector fields. IHES 43 (2), 47–100 (1974).
8. Baider A., Sanders J. Further reduction of the Takens-Bogdanov normal form. J. Diff. Eq. 99, 205–244 (1992).
9. Belickii G.R. Normal forms, invariants and local mappings. Kiev, Naukova Dumka Publ. (1979). (In Russian)
10. Bruno A.D., Petrovich V.Yu. Normal forms of system of ODE. Keldysh Institute preprints, 18 (2000). (In Russian)
Загрузки
Опубликован
29.05.2021
Как цитировать
Басов, В. В., & Зефиров, А. В. (2021). Обобщенные нормальные формы систем обыкновенных дифференциальных уравнений с квазиоднородным многочленом (ax1^2 + x2, x1x2) в невозмущенной части. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 8(1), 12–28. https://doi.org/10.21638/spbu01.2021.102
Выпуск
Раздел
Математика
Лицензия
Статьи журнала «Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия» находятся в открытом доступе и распространяются в соответствии с условиями Лицензионного Договора с Санкт-Петербургским государственным университетом, который бесплатно предоставляет авторам неограниченное распространение и самостоятельное архивирование.
