Formulation and solution of a generalized Chebyshev problem. II
DOI:
https://doi.org/10.21638/spbu01.2020.412Abstract
This work is a continuation of the article “Formulation and solution of a generalized Chebyshev problem. I”, in which a generalized Chebyshev problem was formulated, two theories of motion for non-holonomic systems with high-order constraints were presented for its solution. These theories were used to study the motion of the Earth’s satellite when fixing the magnitude of its acceleration (this was equivalent to imposing a linear non-holonomic constraint of the third order). In the offered article, the second theory, based on the application of the generalized Gauss principle, is used to solve one of the most important problems of control theory: finding the optimal control force that translates a mechanical system with a finite number of degrees of freedom from one phase state to another in a specified time. The application of the theory is demonstrated by solving a model problem of controlling the horizontal motion of a cart bearing the axes of s mathematical pendulums. Initially, the problem is solved by applying the Pontryagin maximum principle, which minimizes the functional of the square of the desired horizontal control force, which transfers the mechanical system from a state of rest to a new state of rest in the specified time with the horizontal displacement of the cart by S (that is, the problem of vibration damping is considered). Let’s call this approach the first method of solving the control problem. It is shown that a linear non-holonomic constraint of the order (2s + 4) is continuously performed. This suggests applying the second theory of motion for non-holonomic systems with high-order constraints to the same problem (see the previous article), developed at the Department of Theoretical and Applied Mechanics of the Faculty of Mathematics and Mechanics of Saint Petersburg State University. Let’s call this approach the second method of solving the problem. Calculations performed for the case of s = 2 showed that the results obtained by the both methods are practically the same for a short-term motion of the system, while they differ sharply for a long-term motion. This is because the control found using the first method contains harmonics with the system’s natural frequencies, which tends to bring the system into resonance. With a short-term motion, this is not noticeable, and with a long-term motion, there are large fluctuations in the system. In contrast, when using the second method, the control is in the form of a polynomial in time, which provides a relatively smooth motion of the system. In addition, in order to eliminate the control force jumps at the beginning and end of the motion, we propose to solve a generalized boundary value problem and discuss some special cases that sometimes occur when using the second method for solving the boundary value problem.Keywords:
non-holonomic mechanics, high-order constraints, Pontryagin maximum principle, generalized Gauss principle, control, suppression of oscillation, generalized boundary problem
Downloads
Download data is not yet available.
References
Литература
1. Поляхов Н. Н., Зегжда С. А., Юшков М. П. Теоретическая механика. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1985.; М.: Высшая школа, 2000; М.: Юрайт, 2012, 2015.
2. Черноусько Ф. Л., Акуленко Л. Д., Соколов Б. Н. Управление колебаниями. М.: Наука, 1980.
3. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983.
4. Зегжда С. А., Солтаханов Ш. Х., Юшков М. П. Уравнения движения неголономных систем вариационные принципы механики. Новыйкласс задач управления. М.: Наука; Физматлит, 2005.
5. Зегжда С. А., Солтаханов Ш. Х., Юшков М. П. Неголономная механика. Теория и приложения. М.: Наука; Физматлит, 2009.
6. Зегжда С. А., Юшков М. П., Солтаханов Ш. Х., Шатров Е. А. Неголономная механика и теория управления. М.: Наука; Физматлит, 2018.
7. Zegzhda S. A., Soltakhanov Sh. Kh., Yushkov M. P. Уравнения движения неголономных систем и вариационные принципы механики. Новыйкласс задач управления (Перевод на китайскийязык). Beijing: Beijing Institute of Technology Press, 2007.
8. Soltakhanov Sh. Kh., Yushkov M. P., Zegzhda S. A. Mechanics of non-holonomic systems. A new class of control systems. Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag, 2009.
9. Юшков М. П. Постановка и решение обобщеннойзадачи Чебышёва. I // Вестник С.-Петерб. ун-та. Математика. Механика. Астрономия. 2019. Т. 6 (64). Вып. 4. С. 680–701.
10. Поляхов Н. Н., Зегжда С. А., Юшков М. П. Обобщение принципа Гаусса на случайнеголономных систем высших порядков // Докл. АН СССР. 1983. Т. 269, №6. С. 1328–1330.
11. Поляхов Н. Н., Зегжда С. А., Юшков М. П. Линейные преобразования сил и обобщенный принцип Гаусса // Вестн. Ленингр. ун-та. 1984. №1. С. 73–79.
12. Чуев М. А. К вопpосу аналитического метода синтеза механизма // Изв. вузов. Машиностpоение. М.: Изд-во МВТУ им. Н. Э. Баумана. 1974. №8. С. 165–167.
13. Костин Г. В., Саурин В. В. Интегродифференциальныйподход к решению задач линейной теории упругости // Доклады Академии наук. 2005. Т. 404, №5. С. 535–538.
14. Костин Г. В., Саурин В. В. Моделирование и оптимизация движенийупругих систем методом интегродифференциальных соотношений// Доклады Академии наук. 2006. Т. 408, №6. С. 750–753
15. Zegzhda S. A., Tovstik P. E., Yushkov M. P. The Hamilton — Ostrogradskii generalized principle and its application for damping of oscillations // Doklady Physics. 2012. Vol. 57, no. 11. P. 447–450.
16. Солтаханов Ш. Х. Гашение колебанийконсоли // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 2009. Вып. 4. С. 105–112.
17. Солтаханов Ш. Х. Определение управляющих сил при наличии связейвысокого порядка. М.: Наука; Физматлит, 2014.
18. Zegzhda S., Yushkov M., Soltakhanov Sh., Naumova N., Shugaylo T. A novel approach to suppression of oscillations // ZAMM (Zeitschrift f¨ ur angew. Math. und Mech.). 2018. Vol. 98. Iss. 5. P. 781–788.
19. Зегжда С. А., Солтаханов Ш. Х. Применение обобщенного принципа Гаусса к решению задачи о гашении колебаниймеханических систем // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2010. №2. С. 20–25.
20. Зегжда С. А., Юшков М. П. Смешанная задача динамики // Докл. РАН. 2000. Т. 374, №5. С. 628–630.
21. Зегжда С. А. Применение обобщенного оператора Лагранжа при неголономных связях высокого порядка // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 1998. Вып. 2 (№ 8). С. 76–77.
22. Зегжда С. А., Гаврилов Д. Н. Гашение колебанийупругого тела при его перемещении // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 2012. Вып. 3. С. 73–83.
23. Зегжда С. А., Шатров Е. А., Юшков М. П. Новый подход к нахождению управления, переводящего систему из одного фазового состояния в другое // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 2016. T. 3 (61). Вып. 2. С. 286–295.
24. Зегжда С. А., Шатров Е. А., Юшков М. П. Гашение колебанийтележки с двойным маятником с помощью управления ее ускорением // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 2016. Т. 3 (61). Вып. 4. С. 683–688.
25. Шатров Е. А. Использование главных координат в задаче о гашении колебанийтележки с двумя маятниками // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 2014. T. 1 (59). Вып. 4. С. 619–623.
26. Солтаханов Ш. Х. Об обобщенном представлении управляющих сил, обеспечивающих заданную программу движения // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 1990. Вып. 2 (№ 8). С. 70–75.
27. Солтаханов Ш. Х. Об одном видоизменении принципа Поляхова — Зегжды — Юшкова // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 1990. Вып. 4 (№ 22). С. 58–61.
28. Солтаханов Ш. Х. Сравнительныйанализ уравненийдвижения неголономных систем, вытекающих из принципа Поляхова — Зегжды —Юшкова и Нордхайма — Долапчиева (принципа Манжерона — Делеану) // Сб.: Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы. Пермь. 1997. С. 136–148.
29. Солтаханов Ш. Х., Юшков М. П. Применение обобщенного принципа Гаусса для составления уравнений движения систем с неголономными связями третьего порядка // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 1990. Вып. 3 (№15). С. 77–83.
30. Солтаханов Ш. Х., Юшков М. П. Уравнения движения одной неголономной системы при наличии связи второго порядка // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 1991. Вып. 4 (№ 22). С. 26–29.
31. Солтаханов Ш. Х., Юшков М. П. Определение минимальнойпроизводнойот добавочной силы, обеспечивающейзаданную программу движения // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 1993. Вып. 1 (№ 1). С. 97–101.
32. Солтаханов Ш. Х., Юшков М. П. Определение векторнойстpуктуpы реакцийсвязейвысокого порядка // Теоретическая механика. 1996. Вып. 22. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. С. 30–34.
33. Юшков М. П. Уравнения движения машинного агрегата с вариатором как неголономной системы с нелинейной связью второго порядка // Мех. тверд. тела. 1997. №4. С. 40–44.
34. Додонов В. В., Юшков М. П. Нахождение управляющего момента, переводящего твердое тело из одного углового состояния в другое, с помощью минимизации различных функционалов // XII Всероссийскийсъезд по фундаментальным проблемам теоретическойи прикладноймеханики: Сборник трудов в 4 томах. Т. 1. Уфа: РИЦ БашГУ, 2019. С. 199–200.
35. Солтаханов Ш. Х., Шугайло Т. С., Юшков М. П. . Применение обобщенного принципа Гаусса для гашенийколебанийгруза портального крана с выделением движения системы как твердого тела // XII Всероссийскийсъезд по фундаментальным проблемам теоретическойи прикладной механики: Сборник трудов в 4 томах. Т. 1. Уфа: РИЦ БашГУ, 2019. С. 271–273.
36. Фазлыева К. М., Шугайло Т. С. Управление гашением колебаний трех массовой системы при горизонтальном движении // Труды семинара «Компьютерные методы в механике сплошной среды» 2018–2019 гг. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2019. С. 56–67.
37. Shugaylo T. S., Yushkov M. P. Motion control of a gantry crane with a container // The Eighth Polyakhov’s Reading. AIP (American Institute of Physics) Conference Proceedings. 2018. Vol. 1959. Art. no. 030021.
References
1. Polyakhov N. N., Zegzhda S. A., Yushkov M. P., Theoretical mechanics (Leningrad Univ. Press, Leningrad, 1985; Vysshaya shkola Publ., Moscow, 2000; Urait, Moscow, 2012, 2015). (In Russian)
2. Chernous’ko F. L., Akulenko L. D., Sokolov B. N., Control of the vibrations (Nauka Publ., Moscow, 1980). (In Russian)
3. Pontryagin L. S., Boltyanskii V. G., Gamkrelidze R. V., Mishchenko E. F., Mathematical theory of optimal processes (Nauka Publ., Fizmatlit Publ., Moscow, 1983). (In Russian)
4. Zegzhda S. A., Soltakhanov Sh. Kh., Yushkov M. P., Motion equations of non-holonomic systems and varitional principles of mechanics. New class of control problems (Nauka Publ., Fizmatlit Publ., Moscow, 2005). (In Russian)
5. Zegzhda S. A., Soltakhanov Sh. Kh., Yushkov M. P., Non-holonomic mechanics. Theory and applications (Nauka Publ., Fizmatlit Publ., Moscow, 2009). (In Russian)
6. Zegzhda S. A., Yushkov M. P., Soltakhanov Sh. Kh., Shatrov E. A., Non-holonomic mechanics and control theory (Nauka Publ., Fizmatlit Publ., Moscow, 2018). (In Russian)
7. Zegzhda S. A., Soltakhanov Sh. Kh., Yushkov M. P., Motion equations of non-holonomic systems and varitional principles of mechanics. New class of control problems (Chinese translation, Beijing Institute of Technology Press, Beijing, 2007).
8. Soltakhanov Sh. Kh., Yushkov M. P., Zegzhda S. A., Mechanics of non-holonomic systems. A new class of control systems (Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 2009).
9. Yushkov M. P., “Formulation and solution of a generalized Chebyshev problem. I”, Vestnik St. Petersburg University. Mathematics. 52 (4), 436–451 (2019).
10. Polyakhov N. N., Zegzhda S. A., Yushkov M. P., “The extension of Gauss’ principle to the case of high-order nonholonomic systems”, Doklady Akademii Nauk SSSR 269, issue 6, 1328–1330 (1983). (In Russian)
11. Polyakhov N. N., Zegzhda S. A., Yushkov M. P., “Linear transformations of forces and a generalized Gauss principle”, Vestnik of Leningrad University. Series 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, issue 1, 73–79 (1984). (In Russian)
12. Chuev M. A., “The analytical method for the synthesis of mechanism”, Proceedings of higher educational instutions. Machine Building 8, 165–167 (MGTU named after N. E. Bauman Press, Moscow, 1974). (In Russian)
13. Kostin G. V., Saurin V. V., “Integro-differential approach to solving the problems of linear elasticity theory”, Doklady Akademii Nauk 404 (5), 535–538 (2005). (In Russian)
14. Kostin G. V., Saurin V. V., “Modelling and optimization of motion of elastic systems by the method of integro-differential relations”, Doklady Akademii Nauk 408 (6), 750–753 (2006). (In Russian)
15. Zegzhda S. A., Tovstik P. E., Yushkov M. P., “The Hamilton — Ostrogradskii generalized principle and its application for damping of oscillations”, Doklady Physics 57 (11), 447–450 (2012)
16. Soltakhanov Sh. Kh., “Suppression of the cantilever’s vibration”, Vestnik of St. Petersburg Univ. Ser. 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, issue 4, 105–112 (2009). (In Russian)
17. Soltakhanov Sh. Kh., Determinztions of control forces with high order constraints (Nauka Publ., Fizmatlit Publ., Moscow, 2014). (In Russian)
18. Zegzhda S., Yushkov M., Soltakhanov Sh., Naumova N., Shugaylo T., “A novel approach to suppression of oscillations”, ZAMM (Zeitschrift f¨ ur angew. Math. und Mech.) 98, issue 5, 781–788 (2018).
19. Zegzhda S. A., Soltakhanov Sh. Kh., “Application of the generalized Gaussian principle to the problem of damping vibrations of mechanical systems”, Journal of computer and systems sciences international 49 (2), 186–191 (2010). (In Russian)
20. Zegzhda C. A., Yushkov M. P., “Mixed problem of dynamics”, Doklady Akademii Nauk 374 (5), 628–630 (2000). (In Russian)
21. Zegzhda S. A., “Application of a generalized Lagrange operator for nonholonomic high-order constraints”, Vestnik of St. Petersburg Univ. Ser. 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, issue 2 (8), 76–77 (1998). (In Russian)
22. Zegzhda S. A., Gavrilov D. N., “Suppression of vibration of an elastic body during its motion”, Vestnik of St. Petersburg Univ. Ser. 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, issue 3, 73–83 (2012). (In Russian)
23. Zegzhda S. A., Shatrov E. A., Yushkov M. P., “A new approach to finding the control transporting a system from one phase state to another”, Vestnik of St. Petersburg Univ. Ser. 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, issue 2, 286–295 (2016). (In Russian)
24. Zegzhda S. A., Shatrov E. A., Yushkov M. P., “Suppression of oscillation of a trolley with a double pendulum by means of control of its acceleration”, Vestnik of St. Petersburg Univ. Ser. 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 3 (61), issue 4, 683–688 (2016). (In Russian)
25. Shatrov E. A., “The use of master coordinates in the problem of damping the vibration of a trolley with two pendulums”, Vestnik of St. Petersburg Univ. Ser. 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, issue 4, 619–623 (2014). (In Russian)
26. Soltakhanov Sh. Kh., “Generalized representation of control forces providing the given program of motion”, Vestnik of St. Petersburg Univ. Ser. 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, issue 2 (8), 70–75 (1990). (In Russian)
27. Soltakhanov Sh. Kh., “About one modification of the Polyakhov — Zegzhda — Yushkov principle”, Vestnik of Leningrad University. Ser. 1. Mathematics. Mechsanics. Astronomy, issue 4 (22), 58–61 (1990). (In Russian)
28. Soltakhanov Sh. Kh., “Comparative analysis of equations of motion of nonholonomic systems based on the principle of Polyakhov — Zegzhda — Yushkov and Nordheim — Dolapchiev (the Mangeron — Deleanu principle)”, Proceedings: Problems of the control mechanics. Nonlinear dynamic systems. Perm, 136–148 (1997). (In Russian)
29. Soltakhanov Sh. Kh., Yushkov M. P., “The application of a generalized Gauss principle to generating the equations of motion of systems with the third-order nonholonomic constraints”, Vestnik of Leningrad University. Ser. 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, issue 3 (15), 77–83 (1990). (In Russian)
30. Soltakhanov Sh. Kh., Yushkov M. P., “Equations of motion of a nonholonomic system with second-order constraint”, Vestnik of Leningrad University. Ser. 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, issue 4 (22), 26–29 (1991). (In Russian)
31. Soltakhanov Sh. Kh., Yushkov M. P., “Determination of a minimal derivative of additional force providing a given program motion”, Vestnik of Leningrad University. Ser. 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, issue 1 (1), 97–101 (1993). (In Russian)
32. Soltakhanov Sh. Kh., Yushkov M. P., “Determination of a vector structure of high-order constraint reactions”, Theoretical mechanics, issue 22, 30–34 (MGTU named after N. E. Bauman Press, Moscow, 1996). (In Russian)
33. Yushkov M. P., “Motion equations of a machine unit with a variator as a nonholonomic system with a nonlinear second-order constraints”, Solid mechanics (4), 40–44 (1997). (In Russian)
34. Dodonov V. V., Yushkov M. P., “Determination of a control moment transferring a rigid body from one angular coordinate position to another by means of minimization of different functionals”, XII All-Russian Congress on fundamental problems of theoretical and applied mechanics: Proceedings in 4 volumes. Ufa: RITS BashGU 1, 199–200 (2019). (In Russian)
35. Soltakhanov Sh. Kh., Shugaylo T. S., Yushkov M. P., “Applying the generalized Gauss principle to damping the vibration of a cargo carried by a bridge crane with the motion phase as one of a rigid body”, XII All-Russian Congress on fundamental problems of theoretical and applied mechanics: Proceedings in 4 volumes. Ufa: RITS BashGU 1, 271–273 (2019). (In Russian)
36. Fazlyeva K. M., Shugaylo T. S., “Control of the damping the vibration of a three-mass system during its horizontal motion”, Proceedings of the seminar “Computer methods in the continuum mechanics” 2018–2019, 56–67 (St. Petersburg, St. Petersburg Univ. Press, 2019). (In Russian)
37. Shugaylo T. S., Yushkov M. P., “Motion control of a gantry crane with a container”, The Eighth Polyakhov’s Reading. AIP (American Institute of Physics) Conference Proceedings 1959, 030021 (2018).
Downloads
Published
2020-12-27
How to Cite
Yushkov, M. P. (2020). Formulation and solution of a generalized Chebyshev problem. II. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 7(4), 714–733. https://doi.org/10.21638/spbu01.2020.412
Issue
Section
Mechanics
License
Articles of "Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy" are open access distributed under the terms of the License Agreement with Saint Petersburg State University, which permits to the authors unrestricted distribution and self-archiving free of charge.
