Двумерные однородные кубические системы: классификация и нормальные формы—I
DOI:
https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2016.201Аннотация
Настоящая работа является первой в цикле работ, посвященном классификации двумерных однородных кубических систем, основанной на разбиении систем на классы линейной эквивалентности. Разрабатываются принципы, позволяющие конструктивно выделять в каждом классе структуру самой простой системы и каноническое множество, определяющее допустимые значения, которые могут принимать ее коэффициенты. Векторный многочлен в правой части такой системы, отождествляемый с (2×4)-матрицей, будем называть канонической формой (КФ), а саму систему — кубической нормальной формой. Одна из основных задач цикла заключается в том, чтобы максимально облегчить сведение системы с однородным кубическим многочленом в невозмущенной части к различным структурам обобщенной нормальной формы (ОНФ). Под ОНФ подразумевается система, возмущенная часть которой имеет в том или ином смысле самый простой вид. Конструктивная реализация процесса нормализации зависит от возможности в явном виде указать условия совместности и всевозможные решения так называемой связующей системы, под которой понимается счетное множество линейных алгебраических систем уравнений, определяющих нормализующие преобразования возмущенной системы. Упомянутые принципы основываются на идее максимально возможного упрощения связующей системы. Это позволяет сначала линейной обратимой заменой переменных сводить исходную систему к системе с какой-либо КФ в невозмущенной части, а затем полученную систему, оптимальную для нормализации, почти тождественными заменами сводить к различным структурам ОНФ. В данной работе: 1) ставится общая задача, а также формулируются близкие по постановке задачи с описанием имеющихся результатов; 2) выводится связующая система, позволяющая установить эквивалентность двух любых возмущенных систем с одинаковой однородной кубической частью, и обсуждаются возможности ее упрощения, а также определяется ОНФ и приводится метод резонансных уравнений, позволяющий конструктивно получать все ее структуры; 3) вводятся специальные формы записи однородных кубических систем при наличии в их правых частях однородного общего множителя, имеющего степень от единицы до трех; исследуется линейная эквивалентность таких систем, а также систем, не имеющих общего множителя; выделяются основные линейные инварианты. Библиогр. 20 назв.Скачивания
Данные скачивания пока недоступны.
Библиографические ссылки
Литература
1. Басов В.В. Обобщенная нормальная форма и формальная эквивалентность систем дифференциальных уравнений с нулевым приближением (x3, -x3 ) // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40, 2 1 № 8. С. 1011-1022.
2. Белицкий Г.Р. Нормальные формы относительно фильтрующегося действия группы // Труды ММО. 1979. Т. 40. С. 2-46.
3. Kokubu H., Oka H., Wang D. Linear grading function and further redaction of normal forms // J. Diff. Eq. 1996. Vol. 132. P. 293-318.
4. Брюно А.Д., Петрович В.Ю. Нормальные формы системы ОДУ // Препринт ИПМ РАН. 2000. № 18. 24 с.
5. Baider A., Sanders J. Further reduction of the Takens-Bogdanov normal form // J. Diff. Eq. 1992. Vol. 99, N 2, P. 205-244.
6. Басов В.В., Михлин Л.С. Обобщенные нормальные формы систем ОДУ с невозмущенной частью (x2, ±x2n-1 ) // Вестник С-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2015. Т. 2 (60), вып. 1. С. 14-22.
7. Vaganyan A.S. Generalized normal forms of infinitesimal symplectic and contact transformations in the neighbourhood of a singular point // arXiv:1212.4947. 2013. URL: http://arxiv.org/abs/1212.4947.
8. Брюно А.Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений // Труды ММО. 1971. Т. 25. С. 119-262; 1972, Т. 26. С. 199-238.
9. Брюно А.Д. Нормальная форма системы Гамильтона // УМН. 1988. Т. 43, вып. 1(259). С. 23-56.
10. Birkhoff G.D. Dynamical Systems // Amer. Math. Soc., Providence, Colloquium Publications. 1927. Vol. 9. P. xii 305.
11. Лычагин В.В. Локальная классификация нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка // УМН. 1975. Т. 30, вып. 1(181). С. 101-171.
12. Басов В.В., Федорова Е.В. Двумерные вещественные системы ОДУ с квадратичной невозмущенной частью: классификация и вырожденные обобщенные НФ // Дифференц. уравнения и процессы управления. 2010. № 4. С. 49-85. URL: http://www.math.spbu.ru/diffjournal.
13. Басов В.В., Скитович А.В. Обобщенная нормальная форма и формальная эквивалентность двумерных систем с нулевыми квадратичным приближением. I, II // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39, № 8. С. 1016-1029; 2005. Т. 41, № 8. С. 1011-1022.
14. Басов В.В. Обобщенная нормальная форма и формальная эквивалентность двумерных систем с нулевыми квадратичным приближением. III // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, № 3. С. 308-319.
15. Басов В.В., Федорова Е.В. Обобщенная нормальная форма и формальная эквивалентность двумерных систем с нулевыми квадратичным приближением. IV // Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45, № 3. С. 297-313.
16. Сибирский К.С. Введение в алгебраическую теорию инвариантов дифференциальных уравнений. Кишинев: «Штиинца», 1982. 168 с.
17. Басов В.В., Петрова С.Е. Обобщенные нормальные формы систем ОДУ с квадратичнокубической невозмущенной частью // Дифференц. уравнения и процессы управления. 2012. № 2. С. 154-217. URL: http://www.math.spbu.ru/diffjournal.
18. Takens F. Singularities of vector fields // IHES. 1974. Vol. 43, N 2. P. 47-100.
19. Белицкий Г.Р. Нормальные формы формальных рядов и ростков C ∞-отображений относительно действия группы // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1976. Т. 40, № 4. С. 855-868.
20. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. М.; Л.: Гос. изд-во тех.-теор. лит-ры, 1949. 434 c.
References
1. Basov V.V., “The generalized normal form and formal equivalence of systems of differential equations with zero approximation (x32 ,−x31 )”, Differential Equations 40(8), 1073—1085 (2004).
2. Belickii G.R., “Normal forms in relation to the filtering action of the group”, Trudy Mosk. Mat. Obshch. 40, 2–46 (1979) [in Russian].
3. Kokubu H., Oka H., Wang D., “Linear grading function and further redaction of normal forms”, J. of Differential Equations 132, 293–318 (1996).
4. Bruno A.D., Petrovich V.Yu., “Normal forms of system of ODE”, Preprint Inst. Prikl.Mat. RAN (18), (Moscow, 2000) [in Russian].
5. Baider A., Sanders J., “Further reduction of the Takens—Bogdanov normal form”, Journal of Differential Equations 99(2), 205–244 (1992).
6. Basov V.V., Mikhlin L. S., “Generalized normal forms of ODE systems with unperturbed part (x2,±x2n−1 1 )”, Vestnik of Saint-Petersburg University. Ser. 1 2(60), Issue 1, 14–22 (2015) [in Russian].
7. Vaganyan A. S., “Generalized normal forms of infinitesimal symplectic and contact transformations in the neighbourhood of a singular point”, arXiv:1212.4947 (2013), URL: http://arxiv.org/abs/1212.4947.
8. Bruno A.D., “An analytical form of differential equations”, Trudy Mosk. Mat. Obshch. 25, 119–262 (1971); 26, 199–238 (1972) [in Russian].
9. Bruno A.D., “The normal form of a Hamiltonian system”, Russian Mathematical Surveys 43, Issue 1, 25–66 (1988).
10. Birkhoff G.D., “Dynamical Systems”, Amer.Math. Soc., Providence, Colloquium Publications 9, xii+305 (1927).
11. Lychagin V.V., “Lokal classification of non-lineral first order partial differential equations”, Russian Mathematical Surveys 30, Issue 1, 105–175 (1975).
12. Basov V.V., Fedorova E.V., “Two-dimensional real systems of ODE with quadratic unperturbed parts: classification and degenerate generalized normal forms”, Differential equations and control processes (4), 49–85 (2010). URL: http://www.math.spbu.ru/diffjournal.
13. Basov V.V., Skitovich A.V., “A generalized normal form and formal equivalence of twodimensional systems with quadratic zero approximation: I, II”, Differential Equations 39(8), 1067—1081 (2003); 41(8), 1061—1074 (2005).
14. Basov V.V., “A generalized normal form and formal equivalence of two-dimensional systems with quadratic zero approximation: III”, Differential Equations 42(3), 327—339 (2006).
15. Basov V.V., Fedorova E.V., “A generalized normal form and formal equivalence of twodimensional systems with quadratic zero approximation: IV”, Differential Equations 45(3), 305—322 (2009).
16. Sibirskii K. S., An introduction to the algebraic theory of invariants of differential equations (Izd. Shtiintsa, Kishinev, 1982, 168 p.) [in Russian].
17. Basov V.V., Petrova S. E., “Generalized normal forms of systems of ODE with quadraticcubic unperturbed parts”, Differential equations and control processes (2), 154–217 (2012) URL: http://www.math.spbu.ru/diffjournal [in Russian].
18. Takens F., “Singularities of vector fields”, IHES 43(2), 47–100 (1974).
19. Belickii G.R., “Normal forms for formal series and germs of C∞-mappings with respect to the action of a group”, Mathematics of the USSR-Izvestiya 10(4), 809–821 (1976).
20. Okunev L.Ya., Higher algebra (Gos. izdat. teh.-teor. lit., Moscow, 1949, 434 p.) [in Russian].
Загрузки
Опубликован
19.10.2020
Как цитировать
Басов, В. В. (2020). Двумерные однородные кубические системы: классификация и нормальные формы—I. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 3(2), 1. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2016.201
Выпуск
Раздел
Математика
Лицензия
Статьи журнала «Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия» находятся в открытом доступе и распространяются в соответствии с условиями Лицензионного Договора с Санкт-Петербургским государственным университетом, который бесплатно предоставляет авторам неограниченное распространение и самостоятельное архивирование.
