Области притяжения в обобщенной задаче Капицы

Аннотация

Рассматривается область притяжения устойчивого вертикального положения стержня в задаче Капицы и в ее обобщениях. Достаточно длинный гибкий стержень со свободным верхним концом и жестко закрепленным нижним концом теряет устойчивость вертикальной формы под действием собственного веса. Недавно были получены условия, при которых гармонические вертикальные вибрации основания делают вертикальное положение устойчивым. Обсуждается вопрос об области притяжения вертикального положения при вибрациях в случае, когда при отсутствии вибраций это положение неустойчиво. Сначала находится область притяжения в классической задаче Капицы, а затем рассматривается стержень с упруго закрепленным нижним концом, который моделирует задачу о гибком стержне. Используется асимптотический метод двухмасштабных разложений. Обнаружено, что переход стержня в вертикальное положение при вибрациях основания существенно зависит от начальной фазы возмущения. В результате оказалось, что область притяжения состоит из двух частей. В одной из них переход в вертикальное положение не зависит от начальной фазы, а в другой - имеет место лишь для начальной фазы из некоторой области.