Устойчивость гибкого вертикального стержня на вибрирующем основании

Аннотация

Дается обобщение классической задачи Капицы на случай перевернутого гибкого маятника. Рассматривается тонкий однородный вертикальный стержень со свободным верхним концом и шарнирно или жестко закрепленным нижним концом под действием веса и гармонических вертикальных колебаний основания. В обоих случаях закрепления найдены условия устойчивости вертикального положения стержня. Учитывается влияние как продольных, так и изгибных колебаний стержня, причем изгибные колебания описываются по балочной модели Бернулли-Эйлера. Решение построено в виде разложения в ряды Фурье по собственным функциям вспомогательных краевых задач. В результате задача сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и малым параметром. Для ее решения и для определения критического уровня вибраций используется асимптотический метод двухмасштабных разложений. Установлено, что учет влияния продольных волн в стержне существенно снижает критическую нагрузку. Оказалось, что одномодовое приближение дает удовлетворительную точность. В случае шарнирной опоры нижнего конца стержня получено явное приближенное решение. Для жесткого закрепления проведен численный анализ критического уровня вибраций от параметров задачи.