On inequalities for probabilities of joint occurrence of several events

Authors

  • Andrei N. Frolov

Abstract

Неравенства для вероятностей совместного осуществления нескольких событий играют важную роль в комбинаторном анализе, теории вероятностей и многочисленных приложениях. В работе описан метод построения оценок сверху и снизу для вероятнотей одновременного осуществления ровно r из n событий. Метод основан на использовании различных представлений рассматриваемых вероятностей в виде сумм и отдельной оценке слагаемых. Это дает неравенства более точные, чем полученные ранее оценки, соответствующие тривиальным представлениям. Полученные новые неравенства оптимальны. Можно построить примеры, показывающие, что они могут обращаться в равенства. Аналогичные неравенства доказаны для условных вероятностей соответствующих событий относительно некоторой σ-алгебры. Усреднение обеих частей неравенств для условных вероятностей может давать более точные оценки безусловных вероятностей.

Downloads

Download data is not yet available.

References

1. Фролов А.Н. О неравенствах для вероятностей осуществления не менее r из n событий // Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2017. Т. 4(62). Вып. 3. С. 477-488. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2017.310

2. Chung K.L., Erd˝os P. On the application of the Borel-Cantelli lemma // Trans. Amer. Math. Soc. 1952. Vol. 72. P. 179-186.

3. Gallot S. A bound for the maximum of a number of random variables // J. Appl. Probab. 1966. Vol. 3. P. 556-558.

4. Dawson D.A., Sankoff D. An inequality for probabilities. Proc. Amer. Math. Soc. 1967. Vol. 18. P. 504-507.

5. Kounias E.G. Bounds for the probability of a union, with applications // Ann. Math. Statist. 1968. Vol. 39. P. 2154-2158.

6. Kwerel S.M. Bounds on the probability of the union and intersection of m events // Adv. Appl. Probab. 1975. Vol. 7. P. 431-448.

7. Kwerel S. M. Most stringent bounds on aggregated probabilities of partially specified dependent probability systems // J. of Amer. Statist. Assoc. 1975. Vol. 70. P. 472-479.

8. Kwerel S.M. Most stringent bounds on the probability of the union and intersection of m events for systems partially specified by S1, S2, ·· · Sk, 2 k < m // J. Appl. Probab. 1975. Vol. 12. P. 612-619.

9. M'ori T.F., Sz'ekely G.J. A note on the background of several Bonferroni-Galambos-type inequalities // J. Appl. Probab. 1985. Vol. 22. P. 836-843.

10. Boros E., Pr'ekopa A. Closed form two-sided bounds for probabilities that at least r and exactly r out of n events occurs // Math. Oper. Research. 1989. Vol. 14. P. 317-342.

11. Sibuya M. Bonferroni-type inequalities; Chebyshev-type inequalities for distributions on [0, n] // Ann. Inst. Statist. Math. 1991. Vol. 43, N 2. P. 261-285.

12. Kounias S., Sotirakoglou K. Upper and lower bounds for the probability that r events occur // J. Math. Programming. Oper. Research. 1993. Vol. 27, N 1-2. P. 63-78.

13. Galambos J., Simonelli I. Bonferroni-type inequalities with applications. New-York: Springer- Verlag, 1996.

14. de Caen D. A lower bound on the probability of a union // Discrete Math. 1997. Vol. 169. P. 217-220.

15. Kuai H., Alajaji F., Takahara G. A lower bound on the probability of a finite union of events // Discrete Math. 2000. Vol. 215. P. 147-158.

16. Pr'ekopa A., Gao L. Bounding the probability of the union of events by aggregation and disaggregation in linear programs // Discrete Appl. Math. 2005. Vol. 145. P. 444-454.

17. Frolov A.N. Bounds for probabilities of unions of events and the Borel-Cantelli lemma // Statist. Probab. Lett. 2012. Vol. 82. P. 2189-2197.

18. Фролов А.Н. О неравенствах для вероятностей объединений событий и лемме Бореля-Кантелли // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2014. Т. 1(59). Вып. 2. С. 201-210.

19. Frolov A.N. On lower and upper bounds for probabilities of unions and the Borel-Cantelli lemma // Studia Sci. Math. Hungarica. 2015. Vol. 52, N 1. P. 102-128.

20. Фролов А.Н. Об оценивании вероятностей объединений событий с приложениями к лемме Бореля-Кантелли // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2015. Т. 2(60). Вып. 3. С. 399-404.

21. Фролов А.Н. О неравенствах для условных вероятностей объединений событий и условной лемме Бореля-Кантелли // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2016. Т. 3(61). Вып. 4. С. 651-662. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2016.415

22. Frolov A.N. On inequalities for values of first jumps of distribution functions and H¨older's inequality // Statist. Probab. Lett. 2017. Vol. 126. P. 150-156.

Downloads

Published

2020-08-19

How to Cite

Frolov, A. N. (2020). On inequalities for probabilities of joint occurrence of several events. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 5(3), 464–476. Retrieved from https://math-mech-astr-journal.spbu.ru/article/view/8506

Issue

Vol. 5 No. 3 (2018)

Section

Mathematics

License

Articles of "Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy" are open access distributed under the terms of the License Agreement with Saint Petersburg State University, which permits to the authors unrestricted distribution and self-archiving free of charge.