Approximation by entire functions on a countable union of segments on the real axis
Abstract
Вопрос о приближении функций, непрерывных на подмножествах вещественной оси целыми функциями имеет долгую историю, начиная с теоремы Джексона-Бернштейна о приближении 2π-периодических функций тригонометрическими полиномами, которые естественно трактовать как целые функции экспоненциального типа. В настоящей статье мы занимаемся задачей, относящейся к концепции этой теоремы, описывающей классы функциональных пространств скоростью их возможного приближения целыми функциями. В качестве ключевых примеров укажем теорему С. Н. Бернштейна об описании класса ограниченных функций из классов Г¨ельдера на всей оси функциями экспоненциального типа. Принципиальным моментом является то, что скорость приближения в окрестности концов отрезков оказывается выше в той шкале, которая впервые появилась в теории приближения полиномами функций из классов Г¨ельдера на отрезке и позволила согласовать так называемые «прямые» и «обратные» теоремы для этого случая, т. е. восстанавливать г¨ельдеровскую гладкость по скорости приближения полиномами в этой шкале. В данной статье мы представим формулировку «прямой» теоремы о возможности приближения функций из классов Г¨ельдера на счетном объединении отрезков целыми функциями с определенной скоростью. Ранее такие приближения не рассматривались. Также мы дадим общие определения и приведем важнейшие леммы, используемые для дальнейшего построения приближающих функций. Во второй части работы мы представим доказательство «прямой» теоремы. В последующих работах, для получения конструктивного описания класса гладкости с помощью скорости приближения, мы сформулируем и докажем«обратную» теорему для этого случая. При выводе таких утверждений требуется, как правило, факт, аналогичный теореме С. Н. Бернштейна об оценке нормы производной целой функции через норму самой функции. В нашем случае будет необходимо утверждение, аналогичное теореме Н. И. Ахиезера и Б. Я. Левина об оценке целой функции на всей оси через ее значение на подмножестве оси. Библиогр. 4 назв.
Downloads
References
Downloads
Published
How to Cite
Issue
Section
License
Articles of "Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy" are open access distributed under the terms of the License Agreement with Saint Petersburg State University, which permits to the authors unrestricted distribution and self-archiving free of charge.