Approximation by entire functions on a countable union of segments on the real axis. 4. Inverse theorem

Abstract

Вопрос о конструктивном описании классов функций в терминах скорости их возможного приближения заданным множеством аппроксимирующих функций уже более ста лет является одним из основных в общей теории аппроксимации. Важным оказалось обстоятельство, состоящее в возможной неравномерности скорости приближения приближающими функциями в различных точках области задания приближаемой функции. Так, лишь в середине 1950-х годов удалось конструктивно описать классы Гёльдера на отрезке [-1; 1] в терминах аппроксимации алгебраическими полиномами. Дляэтого конкретного случая конструктивное описание требует приближения в окрестностях концов отрезка [-1; 1] существенно лучшего, чем в окрестности его середины.Одним из своеобразных тестов качества приближения после упомянутых результатов стало выяснение, дает ли предлагаемая скорость приближения возможность восстановить гладкость приближаемой функции. В серии наших работ рассматривалось приближение классов гладких функций на счетном объединении отрезков вещественной оси. В данной статье мы покажем, что полученная скорость приближения с помощью целых функций экспоненциального типа позволяет восстановить гладкость приближаемой функции, т. е. конструктивное описание классов гладких функций в терминах указанного способа приближения возможно. В работе одного из авторов был приведен результат для классов Гёльдера, при этом доказательство использовало некоторую функцию, построение которой было опущено. В настоящей статье используется другое доказательство, не предполагающее применения указанной функции.