Применение специальной формы дифференциальных уравнений для исследования движений нагруженной платформы Стюарта

Сергей Андреевич Зегжда; Виктория Игоревна Петрова; Михаил Петрович Юшков

doi:10.21638/11701/spbu01.2020.113

Авторы

Сергей Андреевич Зегжда Санкт-Петербургский государственный университет
Виктория Игоревна Петрова Санкт-Петербургский государственный университет
Михаил Петрович Юшков Санкт-Петербургский государственный университет

DOI:

https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2020.113

Аннотация

В работе изучаются движения нагруженной платформы Стюарта. Для составления уравнений движения используется специальная форма дифференциальных уравнений (выводятся уравнения движения в избыточных координатах). В этой форме составляются векторные уравнения Лагранжа первого рода, использующие дифференцирование по радиус-вектору центра масс системы и ортам главных центральных осей инерции движущегося тела и по их производным. Эти векторы определяют положение твердого тела в пространстве. В качестве абстрактных голономных связей, налагаемых на векторы, описывающие движение твердого тела, учитываются неизменность длин ортов и их ортогональность. Обсуждается один технический эффект, проявляющийся в поведении платформы Стюарта, находящейся в положении равновесия («паразитные колебания»), который является одной из причин ухода системы из положения неустойчивого равновесия. Аналогично неустойчивым будет и такое стандартное движение платформы Стюарта, как вертикальные колебания платформы. Выясняется простейший механизм возникновения неустойчивости таких вертикальных движений платформы. Для получения устойчивого движения предлагается вводить классические обратные связи. Численные решения выведенных ифференциальных уравнений полностью соответствуют численным результатам, полученным при решении уравнений движения, составленных при использовании теорем о движении центра масс и об изменении инетического момента при движении системы относительно центра масс.

Ключевые слова:

платформа Стюарта, динамический имитационный стенд, специальная форма уравнений движения, обратные связи

Скачивания

Данные скачивания пока недоступны.

Библиографические ссылки

Литература

Stewart D. A platform with six degrees of freedom // Proc. of the Institution of mechanical engineers. London. 1965. Vol. 180, no. 15. P. 371–386.

Nanua P., Waldron K. J., Murthy V. Direct kinematic solution of a Stewart platform // IEEE Trans. on robotics and automation. 1990. Vol. 6, no. 4. P. 438–443.

Harib K., Srinivasan K. Kinematic and dynamic analysis of Stewart platform-based machine tool structures // Robotica. 2003. Vol. 21, no. 05. P. 541–554.

Geng Z., Haynes L. S., Lee J. D., Carroll R. L. On the dynamic model and kinematic analysis of a class of Stewart platforms // Robotics and autonomous systems. 1992. Vol. 9. P. 237–254.

Adkins F. A., Haug E. J. Operational envelope of a spatial Stewart platform // Trans. ASME. J. Mech. Des. 1997. Vol. 31, no. 368. P. 330–332.

Bohigas O., Ros L., Manubens M. A complete method for workspace boundary determination. Inst. Robot. and Inf. Ind. (CSIC-UPC), Barcelona, Spain, 2010. Available at: http://www.iri.csic.es /people/ros/Separates/cl6-ark-2010-ws.pdf (accessed: September 19, 2019).

Александров В. В. Абсолютная устойчивость моделируемых динамических систем // Доклады АН СССР. 1988. Т. 299, № 2. С. 296–301.

Dasgupta B., Mruthyunjaya T. S. A Newton — Euler formulation for the inverse dynamics of the Stewart platform manipulator // Mechanism and machine theory. 1998. Vol. 33, no. 8. P. 1135–1152.

Lebret G., Liu K., Lewis F. L. Dynamic analysis and control of a Stewart platform manipulator // J. robotic systems. 1993. Vol. 10, no. 5. P. 629–655.

Леонов Г. А., Зегжда С. А., Кузнецов Н. В., Товстик П. Е., Товстик Т. П., Юшков М. П. Движение твердого тела, опертого на шесть стержней переменной длины // Доклады Академии наук. 2014. Т. 455, № 3. С. 282–286.

Nedic N., Prsic D., Dubonjic L., Stojanovic V., Djordjevic V. Optimal casca de hydraulic control for a parallel robot PSO // Int. J. Manuf. Technol. 2014. Vol. 72. Issue 5–8. P. 1085–1098. https://doi.org/10.1007/s00170-014-5735-5

Andrievsky B. R., Kazunin D. V., Kostygova D. M., Kuznetsov N. V., Leonov G. A., Lobanov P., Volkov A. A. Differential Equations of Controlled Pneumatic Actuators for 6-DOF Stewart Platform // Nonlinear Dynamics and Systems Theory. 2015. Vol. 15, no. 1. P. 14–24.

Андриевский Б. Р., Арсеньев Д. Г., Зегжда С. А., Казунин Д. В., Кузнецов Н. В., Леонов Г. А., Товстик П. Е., Товстик Т. П., Юшков М. П. Динамика платформы Стюарта // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Математика. Механика. Астрономия. 2017. Т. 4(62). Вып. 3. С. 489–504. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2017.311

Леонов Г. А., Зегжда С. А., Зуев С. М., Ершов Б. А., Казунин Д. В., Костыгова Д. М., Кузнецов Н. В., Товстик П. Е., Товстик Т. П., Юшков М. П. Динамика платформы Сьюарта и управление ее движением // Доклады Академии наук. 2014. Т. 458, № 1. С. 36–41.

Александров В. В., Локшин Б. Я., Гомес Е. Л., Салазар И. Х. Стабилизация управляемой платформы при наличии ветровых возмущений // Фундамент. и прикл. матем. 2005. Т. 11. Вып. 7. С. 97–115.

Зуев С. М. Стабилизация положения равновесия платформы Стюарта с тремя степенями свободы // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия. 2013. Вып. 4. С. 84–92.

Леонов Г. А., Товстик П. Е., Товстик Т. М. Области достижимости положений платформы Стьюарта в шестимерном пространстве обобщенных координат // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2017. Математика. Механика. Астрономия. Т. 4(62). Вып. 2. С. 300–309. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2017.214

Ji Z. Study of the effect of leg inertia in Stewart platform // Proc. of the IEEE Conf. on robotics and automation. 1993. Vol. 1. P. 212–226.

Поляхов Н. Н., Зегжда С. А., Юшков М. П. Специальная форма уравнений динамики системы твердых тел // Доклады АН СССР. 1989. Т. 309, № 4. С. 805–807.

Зегжда С. А., Солтаханов Ш. Х., Юшков М. П. Неголономная механика. Теория и приложения. М.: Наука, Физматлит, 2006.

Petrova V. I. Relation between coordinate systems describing the dynamics of a loaded Stewart platform // The Eighth Polyakhov’s Reading: Proceedings of the International Scientific Conference on Mechanics. 2018. Vol. 1959. Art. no. 030019. https://doi.org/10.1063/1.5034599

References

Stewart D., “A platform with six degrees of freedom”, Proc. of the Institution of mechanical engineers 180(15), 371–386 (London, 1965).

Nanua P., Waldron K. J., Murthy V., “Direct kinematic solution of a Stewart platform”, IEEE Trans. on robotics and automation 6(4), 438–443 (1990).

Harib K., Srinivasan K., “Kinematic and dynamic analysis of Stewart platform-based machine tool structures”, Robotica 21(05), 541–554 (2003).

Geng Z., Haynes L. S., Lee J. D., Carroll R. L., “On the dynamic model and kinematic analysis of a class of Stewart platforms”, Robotics and autonomous systems 9, 237–254 (1992).

Adkins F. A., Haug E. J., “Operational envelope of a spatial Stewart platform”, Trans. ASME. J. Mech. Des. 31(368), 330–332 (1997).

Bohigas O., Ros L., Manubens M., A complete method for workspase boundary determination (Inst. Robot. and Inf. Ind. (CSIC-UPC), Barcelona, Spain). Available at: http://www.iri.csic.es /people/ros/Separates/cl6-ark-2010-ws.pdf (accessed: September 19, 2019).

Aleksandrov V. V., “Absolute stability of modeled dynamical systems”, Doklady AN SSSR 299(2), 296–301 (1988). (In Russian)

Dasgupta B., Mruthyunjaya T. S., “A Newton — Euler formulation for the inverse dynamics of the Stewart platform manipulator”, Mechanism and machine theory 33(8), 1135–1152 (1998).

Lebret G., Liu K., Lewis F. L., “Dynamic analysis and control of a Stewart platform manipulator”, J. robotic systems 10(5), 629–655 (1993).

Leonov G. A., Zegzhda S. A., Kuznetsov N. V., Tovstik P. E., Tovstik T. P., Yushkov M. P., “Motion of a Solid Driven by Six Rods of Variable Length”, Doklady Physics 59(3), 153–157 (2014). https://doi.org/10.1134/S1028335814030100

Nedic N., Prsic D., Dubonjic L., Stojanovic V., Djordjevic V., “Optimal casca de hydraulic control for a parallel robot PSO”, Int. J. Manuf. Technol. 72, issue 5–8, 1085–1098 (2014). https://doi.org/10.1007/s00170-014-5735-5

Andrievsky B. R., Kazunin D. V., Kostygova D. M., Kuznetsov N. V, Leonov G. A., Lobanov P., Volkov A. A., “Differential Equations of Controlled Pneumatic Actuators for 6-DOF Stewart Platform”, Nonlinear Dynamics and Systems Theory 15(1), 14–24 (2015).

Andrievskii B. R., Arsen’ev D. G., Zegzhda S. A., Kazunin D. V., Kuznetsov N. V., Leonov G. A., Tovstik P. E., Tovstik T. P., Yushkov M. P., “Dynamics of the Steward platform”, Vestnik St. Petersburg University, Mathematics 50, issue 3, 297–309 (2017). https://doi.org/10.3103/S1063454117030037

Leonov G. A., Zegzhda S. A., Zuev S. M., Ershov B. A., Kazunin D. V., Kostygova D. M., Kuznetsov N. V., Tovstik P. E., Tovstik T. P., Yushkov M. P., “Dynamics and Control of the Stewart Platform”, Doklady Physics 59(9), 405–410 (2014). https://doi.org/10.1134/S102833581409002X

Aleksandrov V. V., Lokshin B. Ya., Gomez E. L., Salazar N. A., “Stabilization of a platform under wind loads”, Fundam. Prikl. Mat. 11(7), 97–115 (2015). (In Russian)

Zuev S. M., “Stabilization of the equilibrium Stewart platform with three degrees of freedom”, Vestnik St. Petersburg Univ. Ser. 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, issue 4, 84–92 (2013). (In Russian)

Leonov G. A., Tovstik P. E., Tovstik T. P., “Workspaces of the Stewart Platform in the 6D Space of Generalized Coordinates”, Vestnik St. Petersburg University, Mathematics 50, issue 2, 180–187 (2017). https://doi.org/10.3103/S1063454117020091

Ji Z., “Study of the effect of leg inertia in Stewart platform”, Proc. of the IEEE Conf. on robotics and automation 1, 212–226 (1993).

Polyakhov N. N., Zegzhda S. A., Yushkov M. P., “Special equation form of the dynamics of solid system”, Doklady AN SSSR 309(4), 805–807 (1989). (In Russian)

Soltakhanov Sh. Kh., Yushkov M. P., Zegzhda S. A., Mechanics of non-holonomic systems. A New Class of control systems (Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 2009).

Petrova V. I., “Relation between coordinate systems describing the dynamics of a loaded Stewart platform”, The Eighth Polyakhov’s Reading: Proceedings of the International Scientific Conference on Mechanics 1959, 030019 (2018). https://doi.org/10.1063/1.5034599