On asymptotic normality in one generalization of the Renyi problem

Authors

  • Sergey M. Ananjevskii
  • Nikolay A. Kryukov

Abstract

В представленной работе рассматривается одно обобщение известной задачи случайного заполнения отрезка большой длины единичными интервалами. На отрезок [0, x], если x ≥ 1, в соответствии с законом распределения Fx помещается открытый интервал единичной длины, где Fx это распределение левого конца единичного интервала, которое сосредоточено на отрезке [0, x- 1]. Первый размещаемый интервал занимает место (t, t + 1) и разбивает отрезок [0, x] на две части [0, t] и [t +1, x], которые в дальнейшем заполняются независимо друг от друга согласно следующим правилам. На отрезке [0, t] случайным образом выбирается точка t1, распределенная в соответствии с законом Ft, и размещается интервал (t1, t1 + 1), а на отрезке [t + 1, x] случайным образом выбирается точка t2 = t+1+u, где u случайная величина, распределенная по закону Fx-t-1, и размещается интервал (t2, t2 + 1). Таким же образом далее заполняются вновь образованные отрезки. Если x < 1, то процесс заполнения считается законченным и на отрезок [0, x] единичный интервал не размещается. В конце процесса заполнения на отрезке [0, x] будут располагаться единичные интервалы так, что расстояния между соседними интервалами будут меньше единицы. В данной статье в качестве Fx рассматриваются законы распределения, имеющие плотности распределения, графики которых обладают свойством центральной симметрии относительно точки (x - 1/2, 1/x - 1). В этот класс распределений входит, в частности, и равномерное распределение на отрезке [0, x - 1], согласно которому проблема случайного заполнения была исследована раньше другими авторами. В работе получено асимптотическое описание поведения центральных моментов и доказана асимптотическая нормальность случайной величины Nx, где Nx общее количество разместившихся единичных интервалов на отрезке [0, x]. Кроме того, в работе доказано, что распределения случайных величин Nx одинаковы для всех законов распределения указанного класса.

Downloads

Download data is not yet available.

References

Литература

1. Renyi A. On a one-dimensional problem concerning space-filling // Publ. of the Math. Inst. of Hungarian Acad. of Sciences. 1958. Vol. 3. P. 109-127.

2. Dvoretzky A., Robbins H. On the "parking" problem // Publ. of the Math. Inst. of Hungarian Acad. of Sciences. 1964. Vol. 9. P. 209-226.

3. Ananjevskii S.M. Some Generalizations of Parking Problem // Vestnik St. Petersburg University: Mathematics. 2016. Vol. 49. Issue 4. P. 299-304. DOI: 10.3103/S1063454116040026

4. Ney P. E. A random interval filling problem // Annals of Math. Statist. 1962. Vol. 33. P. 702-718.

5. Mannion D. Random packing of an interval // Adv. Appl. Prob. 1976. Vol. 8. P. 477-501.

6. Ananjevskii S.M. The "parking" problem for segments of different length // Journal of Mathematical Sciences. 1999. Vol. 93. P. 259-264. DOI: 10.1007/BF02364808

7. Ананьевский С.М., Шульгина Е.А. О мере заполненной части отрезка в задаче ¾парковки¿ // Вестник С-Петерб. ун-та. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия. 2013. Вып. 4. С. 3-12.

8. Ananjevskii S.M., Kryukov N.A. The Problem of Selfish Parking // Vestnik St. Petersburg University, Mathematics. 2018. Vol. 51. Issue 4. P. 322-326. DOI: 10.3103/S1063454118040039

9. Billingsley P. Probability and Measure. In: Wiley series in probability and mathematical statistics. Third Edition. New York: John Wiley Sons, 1985.

Published

2020-08-16

How to Cite

Ananjevskii, S. M., & Kryukov, N. A. (2020). On asymptotic normality in one generalization of the Renyi problem. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 6(3), 353–362. Retrieved from https://math-mech-astr-journal.spbu.ru/article/view/8392

Issue

Section

Mathematics

Most read articles by the same author(s)