On asymptotic normality in one generalization of the Renyi problem

Abstract

В представленной работе рассматривается одно обобщение известной задачи случайного заполнения отрезка большой длины единичными интервалами. На отрезок [0, x], если x ≥ 1, в соответствии с законом распределения F_x помещается открытый интервал единичной длины, где F_x это распределение левого конца единичного интервала, которое сосредоточено на отрезке [0, x- 1]. Первый размещаемый интервал занимает место (t, t + 1) и разбивает отрезок [0, x] на две части [0, t] и [t +1, x], которые в дальнейшем заполняются независимо друг от друга согласно следующим правилам. На отрезке [0, t] случайным образом выбирается точка t₁, распределенная в соответствии с законом F_t, и размещается интервал (t₁, t₁ + 1), а на отрезке [t + 1, x] случайным образом выбирается точка t₂ = t+1+u, где u случайная величина, распределенная по закону F_x-t-1, и размещается интервал (t₂, t₂ + 1). Таким же образом далее заполняются вновь образованные отрезки. Если x < 1, то процесс заполнения считается законченным и на отрезок [0, x] единичный интервал не размещается. В конце процесса заполнения на отрезке [0, x] будут располагаться единичные интервалы так, что расстояния между соседними интервалами будут меньше единицы. В данной статье в качестве Fx рассматриваются законы распределения, имеющие плотности распределения, графики которых обладают свойством центральной симметрии относительно точки (x - 1/2, 1/x - 1). В этот класс распределений входит, в частности, и равномерное распределение на отрезке [0, x - 1], согласно которому проблема случайного заполнения была исследована раньше другими авторами. В работе получено асимптотическое описание поведения центральных моментов и доказана асимптотическая нормальность случайной величины N_x, где N_x общее количество разместившихся единичных интервалов на отрезке [0, x]. Кроме того, в работе доказано, что распределения случайных величин N_x одинаковы для всех законов распределения указанного класса.