Об усиленных формах леммы Бореля-Кантелли и динамических системах с полиномиальным убыванием корреляций
DOI:
https://doi.org/10.21638/spbu01.2022.407Аннотация
Усиленные формы леммы Бореля - Кантелли являются вариантами усиленных законов больших чисел для сумм индикаторов событий, ряд из вероятностей которых расходится. При этом суммы центрируются средними и нормируются некоторой функцией от средних. В настоящей работе получен новый вариант усиленной леммы Бореля - Кантелли при более широких, чем ранее, условиях на дисперсии приращений сумм. Усиленные формы широко применяются при изучении свойств динамических систем. Мы применим наш результат для исследования свойств некоторых сохраняющих меру растягивающих преобразований отрезка [0, 1] с неподвижной точкой в нуле. Подобные результаты могут быть также получены для аналогичных многомерных отображений.Ключевые слова:
лемма Бореля - Кантелли, количественная лемма Бореля - Кантелли, усиленная форма леммы Бореля - Кантелли, суммы индикаторов событий, усиленный закон больших чисел, сходимость почти наверное, динамические системы, полиномиальное убывание корреляций
Скачивания
No metrics available.
Библиографические ссылки
Литература
1. Chung K.L., Erd˝os P. On the application of the Borel - Cantelli lemma. Trans. Amer. Math. Soc. 72, 179-186 (1952).
2. Erd˝os P., R´enyi A. On Cantor’s series with convergent 1/q. Ann. Univ. Sci. Budapest Sect. Math. 2, 93-109 (1959).
3. Spitzer F. Principles of random walk. Van Nostrand, Princeton (1964).
4. M´ori T.F., Sz´ekely G.J. On the Erd˝os - R´enyi generalization of the Borel - Cantelli lemma. Studia Sci. Math. Hungar. 18, 173-182 (1983).
5. Petrov V.V. A note on the Borel - Cantelli lemma. Statist. Probab. Lett. 58, 283-286 (2002).
6. Frolov A.N. Bounds for probabilities of unions of events and the Borel - Cantelli lemma. Statist. Probab. Lett. 82, 2189-2197 (2012). https://doi.org/10.1016/j.spl.2012/08/002
7. Frolov A.N. On lower and upper bounds for probabilities of unions and the Borel - Cantelli lemma. Studia Sci. Math. Hungarica 52 (1), 102-128. (2015). https://doi.org/10.1556/SScMath.52.2015 /1/1304
8. Schmidt W. Metrical theorems on fractional parts of sequences. Trans. Amer. Math. Soc. 110, 493-518 (1964).
9. Phillipp W. Some metrical theorems in number theory. Pacific J. Math. 20, 109-127 (1967).
10. Петров В.В. О росте сумм индикаторов событий. Записки научных семинаровПОМИ 298, 150-154 (2003).
11. Kim D. The dynamical Borel - Cantelli lemma for interval maps. Discrete Contin. Dyn. Syst. 17 (4), 891-900 (2007).
12. Gupta C., Nicol M., Ott W. A Borel - Cantelli lemma for non-uniformly expanding dynamical systems. Nonlinearity 23 (8), 1991-2008 (2010).
13. Haydn N., Nicol M., Persson T., Vaienti S. A note on Borel - Cantelli lemmas for nonuniformly hyperbolic dynamical systems. Ergodic Theory Dynam. Systems 33 (2), 475-498 (2013). https://doi.org/10.1017/S014338571100099X
14. Luzia N. Borel - Cantelli lemma and its applications. Trans. Amer. Math. Soc. 366 (1), 547-560 (2014). https://doi.org/10.1090/S0002-9947-2013-06028-X
15. Gou¨ezel S. A Borel - Cantelli lemma for intermittent interval maps. Nonlinearity 20 (6), 1491- 1497 (2007).
16. Frolov A.N. On strong forms of the Borel - Cantelli lemma and intermittent interval maps. J. Math. Analysis Appl. 504 (2), 125425 (2021). https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2021.125425
17. Sarig O. Subexponential decay of correlations. Invent. Math. 150, 629-653 (2002).
18. Gou¨ezel S. Sharp polynomial estimates for the decay of correlations. Israel J. Math. 139, 29-65 (2004).
19. Hu H., Vaienti S. Lower bounds for the decay of correlations in non-uniformly expanding maps. Ergodic Thoery Dynam. Systems 39, 1936-1970 (2019). https://doi.org/10.48550/arXiv.1307.0359
20. Фролов А.Н. Об усиленнойформе леммы Бореля - Кантелли. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия 9 (67), вып. 1, 85-93 (2022). https://doi.org/10.21638/spbu01.2022/109
References
1. Chung K.L., Erd˝os P. On the application of the Borel - Cantelli lemma. Trans. Amer. Math. Soc. 72, 179-186 (1952).
2. Erd˝os P., R´enyi A. On Cantor’s series with convergent 1/q. Ann. Univ. Sci. Budapest Sect. Math. 2, 93-109 (1959).
3. Spitzer F. Principles of random walk. Van Nostrand, Princeton (1964).
4. M´ori T.F., Sz´ekely G.J. On the Erd˝os - R´enyi generalization of the Borel - Cantelli lemma. Studia Sci. Math. Hungar. 18, 173-182 (1983).
5. Petrov V.V. A note on the Borel - Cantelli lemma. Statist. Probab. Lett. 58, 283-286 (2002).
6. Frolov A.N. Bounds for probabilities of unions of events and the Borel - Cantelli lemma. Statist. Probab. Lett. 82, 2189-2197 (2012). https://doi.org/10.1016/j.spl.2012/08/002
7. Frolov A.N. On lower and upper bounds for probabilities of unions and the Borel - Cantelli lemma. Studia Sci. Math. Hungarica 52 (1), 102-128. (2015). https://doi.org/10.1556/SScMath.52.2015 /1/1304
8. Schmidt W. Metrical theorems on fractional parts of sequences. Trans. Amer. Math. Soc. 110, 493-518 (1964).
9. Phillipp W. Some metrical theorems in number theory. Pacific J. Math. 20, 109-127 (1967).
10. Petrov V.V. On the growth of sums of the indicators of events. Zapiski Nauchnykh Seminarov POMI 298, 150-154 (2003) (In Russian) [Eng. transl.: J. Math. Sci. 128, 2578-2580 (2005) https://doi.org/10.1007/s10958-005-0205-0].
11. Kim D. The dynamical Borel - Cantelli lemma for interval maps. Discrete Contin. Dyn. Syst. 17 (4), 891-900 (2007).
12. Gupta C., Nicol M., Ott W. A Borel - Cantelli lemma for non-uniformly expanding dynamical systems. Nonlinearity 23 (8), 1991-2008 (2010).
13. Haydn N., Nicol M., Persson T., Vaienti S. A note on Borel - Cantelli lemmas for nonuniformly hyperbolic dynamical systems. Ergodic Theory Dynam. Systems 33 (2), 475-498 (2013). https://doi.org/10.1017/S014338571100099X
14. Luzia N. Borel - Cantelli lemma and its applications. Trans. Amer. Math. Soc. 366 (1), 547-560 (2014). https://doi.org/10.1090/S0002-9947-2013-06028-X
15. Gou¨ezel S. A Borel - Cantelli lemma for intermittent interval maps. Nonlinearity 20 (6), 1491- 1497 (2007).
16. Frolov A.N. On strong forms of the Borel - Cantelli lemma and intermittent interval maps. J. Math. Analysis Appl. 504 (2), 125425 (2021). https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2021.125425
17. Sarig O. Subexponential decay of correlations. Invent. Math. 150, 629-653 (2002).
18. Gou¨ezel S. Sharp polynomial estimates for the decay of correlations. Israel J. Math. 139, 29-65 (2004).
19. Hu H., Vaienti S. Lower bounds for the decay of correlations in non-uniformly expanding maps. Ergodic Thoery Dynam. Systems 39, 1936-1970 (2019). https://doi.org/10.48550/arXiv.1307.0359
20. Frolov A.N. Оn a strong form of the Borel - Cantelli lemma. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy 9 (67), iss. 1, 85-93 (2022). https://doi.org/10.21638 /spbu01.2022/109 (In Russian) [Eng. transl.: Vestnik St Petersburg University, Mathematics 55, iss. 1, 64-70 (2022). https://doi.org/10.1134/S1063454122010058].
Загрузки
Опубликован
26.12.2022
Как цитировать
Фролов, А. Н. (2022). Об усиленных формах леммы Бореля-Кантелли и динамических системах с полиномиальным убыванием корреляций. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 9(4), 644–652. https://doi.org/10.21638/spbu01.2022.407
Выпуск
Раздел
Математика
Лицензия
Статьи журнала «Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия» находятся в открытом доступе и распространяются в соответствии с условиями Лицензионного Договора с Санкт-Петербургским государственным университетом, который бесплатно предоставляет авторам неограниченное распространение и самостоятельное архивирование.
