Об интегрируемости в квадратурах задачи о качении тяжелого однородного шара по поверхности вращения второго порядка

Аннотация

В данной работе рассматривается задача о качении тяжелого однородного шара по абсолютно шероховатой поверхности вращения. Обычно при рассмотрении этой задачи принято задавать в явномвиде не поверхность, по которой катится шар, а поверхность, по которой при качении движется центр шара. Поверхность, по которой движется центр шара, является эквидистантной к поверхности, по которой катится шар. В этомслучае решение задачи сводится к интегрированию некоторого линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Коэффициенты данного уравнения зависят от характеристик поверхности, по которой движется центр шара, ее главных кривизн и коэффициентов Ламе. В случае, когда удается в явномвиде найти общее решение соответствующего линейного дифференциального уравнения второго порядка, задача о качении тяжелого однородного шара по поверхности вращения может быть проинтегрирована в квадратурах. Однако найти в явномвиде общее решение соответствующего уравнения для произвольнойповерхности вращения невозможно. Поэтому представляет интерес вопрос, для каких поверхностей вращения общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка находится в явномвиде. В работе предполагается, что поверхность, по которой движется центр шара, представляет собой невырожденную поверхность вращения второго порядка. В этомслучае удается найти в явномвиде общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка, к интегрированию которого сводится задача о качении тяжелого однородного шара по поверхности вращения. Тем самым доказано, что если при качении тяжелого шара по поверхности вращения его центр принадлежит невырожденной поверхности вращения второго порядка, то задача о качении шара может быть проинтегрирована в квадратурах.

Ключевые слова:

качение без проскальзывания, однородный шар, поверхность вращения второго порядка, интегрируемость в квадратурах